ARMA模型参数估计算法介绍

完成模型的识别和定阶后，下一步就是估计模型的参数。对超声RF时间序列建模 过程中，参数估计是非常关键的步骤，由于白噪声未知，这无形中增加了 ARMA 模型参数估计的难度，本文采用了三种不同的参数估计算法进行参数估计。

1.  ARMA模型参数估计的两段最小二乘（RLS_LS)法

ARMA模型参数估计的两段最小二乘法是由邓自立等^[71]于2002年提出，该方法是 用递推最小二乘（RLS)法对真实的ARMA模型拟合成高阶的AR模型，然后利用最小 二乘法求解不相容代数方程可改进ARMA模型的参数估计精度。下面介绍该方法的详 细计算步骤：

1.1    递推最小二乘法（RLS)

考虑^4柯《)模型

^Xt = ^1 ^Xt-1 +••• + Pn^Xt-n + ^£t ( ^2-20 )

其中，&是零均值、方差为<>0的白噪声，Xt是获取的时间序列数据，已知阶次为n， 参数A和^是未知。问题是利用时刻t的数据(x₁₇ x₂,…，x_t )，求及和 < 的估值戎和$。 式（2-20)写成向量形式为：

	xt =<0+&	(2-21)
其中T是转置符号，	且定义向量：
	0=[A,A,…，	(2-22)
模型的残差为	W=[ Xt-1，Xt-2，."，Xt—n]	(2-23)
	& = nT0	(2-24)
将式（2-21)合成写成矩阵向量式
	尤=①10 + 2t	(2-25)

其中定义

x

模型的递推最小二乘法的参数估计是

0 +, = 0₁

PC

¹ + 9_t+i^_t 9t+

^xt+, ^- ^^T₊i⁰1

_p = _{p -}眺乂,Pt

Pt+1 ^_ Pt ， T

¹ + 9_i+iPt 9t+i

其中，0_O=0_O，X. =0(/<0)。且定义

Pt = |>T®J—¹

白噪声v的估值V为

v='Hi

V的方差的采样方差估计值$定义为

-Z

为了方便实际应用，当t>t_f时，t_f为截断长度，可用如下的采样估值

1 t

二2 _ ¹ ▽二2

^lf ⁱ=^t-tf+i

若在式（2-34)中的估值V不用式（2-32)中的计算方法而使用下面的公式

^V = ^Xi ^— ^i -1 ? . = ^{1,2, t}

^的采样方差估值的递推公式为

《^(t) = 〇 ^-1)+1 [^{V - V}-1 ]

(2-26)

(2-27)

(2-28)

(2-29)

(2-30)

(2-31)

(2-32)

(2-33)

(2-34)

(2-35)

2-36)

一般来说，式（2-35)。的估值^比式（2-32)中的精度高一些。 递推最小二乘法算法的程序流程图如图2-4所示

图2-4 RLS算法程序框图

2.  用递推最小二乘法（RLS)拟合高阶AR模型

若ARMA模型的AR阶数和MA阶数分别为乂和％，用滞后算子表示为：

0( B) x_t = 0( B)s_t (2-37)

其中B为滞后算子，。是零均值，方差为a_f²的白噪声，是时间序列信号，O(B)

和©(B)为：

〇( B) = (1 - a_xB - a₂ B² a_nB^na)  (2-38)

©( B) = (1 - b_xB - b₂ B²  b_nB^nb)  (2-39)

其中ARMA模型的阶数n_a*n_b已知。若O(B)和©(B)是稳定的，即ARMA模型是平 稳的且可逆的。目前的问题是由已知的时间序列数据(x_p...,xt)求未知参数a_z，b_z和a_t²。 当式（2-37)是平稳和可逆的，式（2-37)等价于无穷阶A^(m)模型

S_t

O(B)

©(V，，=〇

TPiBxt

(2-40)

其中，爲=1，爲—0(/ —①）。当〜充分大时，如= 10〜20，有近似的高阶乂^(«。）模 型：

fKB、xt=st	(2-41)
A( B) = 1+ PXB + - + ^n〇 Bn0	(2-42)
同时存在近似关系
©( B)P( B) = 0 (B)	(2-43)
由式（2-41)有最小二乘法结构：
xt = (PTt P + St	(2-44)
= [-Xt-1，•••，- Xt-n0_	(2-45)
p=\_m0_	(2-46)

其中r是转置符号。接着，可得到时刻t处々的递推最小二乘法估值在时刻t处&处

的方差^的采用的估值是

3.  求不相容方程组的最小二乘法解估计ARMA模型参数

(2-47)

当用最小二乘法拟合出高阶的AR模型后，再用求不相容方程组的最小二乘法解估 计ARMA模型的参数。

由式（2-43)可知方程两边滞后因子的关系为：

a = b + Dc (2-48)

Bb = c

其中，a.= 0(/>')，爲=0(/<0或/>«₀)，且定义

^a = [^-ai，^-a2，."，^-a«_a]

^b=[-^b1，-V"，- ^c = ^[A，A，...，A„_a]

(2-49)

(2-50)

(2-51)

(2-52)

图2-5 RLS_LS参数估计算法下估值a1特征的收敛性