1.  ARMA模型参数估计的GW_LS两段算法

由上文可知，ARMA模型参数估计的两段最小二乘法拟合到AR模型后是用求解不 相容线性方程组来估计ARMA模型的参数。该算法存在的缺陷是参数估计所需迭代步 数较长、收敛速度较慢，接下来介绍的算法是基于收敛速度较快、精度高的 Gevers-Wouters (GW)算法将ARMA模型拟合成高阶的MA模型，再基于MA模型的 参数，用最小二乘法求解一个不相容的线性方程组，估计出ARMA模型的参数^[73]。下

面详细介绍该算法的实现步骤。

1. GW算法

考虑可逆的M4(«)模型

A=^ + ^bA—1+…+ ^b，t—n  (2-60)

其中&是零均值，方差为^的白噪声。

设初始时刻t₀=-〇〇，'是一个平稳时间序列。已知'的阶数n和相关函数

R_k =E[ x_tx_t—_k ], k = 0,1, •••, n    (2-61)

^R=Q，^k>n (2-62) 问题转化为由“&求从4的参数b,和a²,。引入记号

R_xe( t, t — k) = E ^ x_ts (t — k)] (2-63)

用GW迭代算法求^的参数b,和a²。

设初始时刻t₀=0,并设初值

e(i) = 0 (, < 0)  (2-64)

= ^{lim R}xs(^t. ^t)    ^(2-65)

t

 

 

(2-66)

^Rxs ^^{1 - i}) = ^Rx ⁽) ^- ^ ^Rxe ^{(t, 1 - S}) ^Rxs ^{- i, 1 - S}')/^Rxs ^{- s, 1 - S}) ( ^2-67 )

s=i+1

其中，在式（2-67)中，t = 0,1,2…，i = t,t-1,...,0，且有如下规定：

R_xs( 0,0 ) = R_x (0) (2-68)

R_xs( t, t - s ) = 0 (t < s)  (2-69)

s,t-s) = 0(，<s) (2-70)

R_xs(t,t-i) = 0(i > n) (2-71)

2.  利用GW算法拟合髙阶模型

考虑(凡g)模型是平稳可逆的，

0( B) x_t = 0( B)s_t (2-72)

其中B为滞后算子，。是零均值，方差为^的白噪声，^是时间序列信号，O(B) 和©(B)为：

〇(B) = (1- a^B - a₂ B²  a_pB^p)

(2-73)

©(B) = (1- b_rB - b₂ B²   bB^q)   (2-74)

当模型中的阶数p , g已知时，问题转化为利用已知的时间序列数据（,x₂,•••,'；)求解 未知的参数a,, b.和

当模型是平稳和可逆时，式（3-23)等价于无穷阶M4(»)模型

^xt

 

(2-75)

其中，爲=1，及.4 0(+4»)。当％充分大时，有近似的高阶編(^)模型：

Xt= /3{B)St (2-76)

P(B) = 1+ P_XB + ••• +P_nfi Bⁿ⁰ (2-77)

〇( B )^( B ) = ©( B ) (2-78)

利用已知的时间序列数据（xy,')，求得相关函数后，结合GW算法，可以得到々(B)

a = (B^TBy B^T c (2-89)

通过（2-89)式算出a的估值a,从而得到O的估值6。同时将/M代入到c可得C的估

值，由式（2-79)可得在时刻/，6的估值厂是：

b = a +4) J3   (2-90)

其中，(（^TB)是pxg的方阵。

至此，该方法估计出了 ARMA模型的参数。

4. ARMA模型参数估计的仿真

当超声RF时间序列进行预处理后，应用GW_LS参数估计算法对超声RF时间序列 进行仿真，模型特征al的参数估计收敛结果如图2-6所示，与RLS_LS参数估计算法相 比较，可以知道GW LS参数估计算法的收敛速度确实快很多。

3.  CARMA模型的参数估计算法

考虑本文中的超声RF时间序列是从连续的系统中提取，使用离散的ARMA模型对 其进行参数评估可能存在误差，因此本文提出使用Continuous-time ARMA (CARMA) ^[64]模型来进行参数估计，利用模型自相关函数的指数性质导出离散ARMA模型的参数

信息。

考虑CARMA模型为：

A (D) x (t ) = B (D)w (t)    (2-91)

其中，是CARMA模型的输出信号，w⑴是零均值、方差为d勺白噪声。是 户阶常系数微分算子，代表了系统的AR部分；B(D)是^阶微分算子，代表了系统的 MA部分。A(D)和B(D)数学表达式分别为：

A (D ) = ( D^p + a_lD^p-^} + —+ apI) B (D ) = ( D^q + b_xD^q-¹ +••• + b_qI)

为了识别该随机系统，对该系统的功率谱函数进行了参数化

 

n^jw - ^rk

k=1  

p

n^{jw - s}k

2

(2-92)

(2-93)

(2-94)

定义向量沒由系统的方差、零点和极点组成，沒…，r_q,si，…，s_p} 写成多项式系数形式

^ji^w；0〇 ) = ^²

Z bk (jw)^k

Z a_k (jw)^k

2

将式（2-94)

(2-95)

其中 A =卜，^b1，…，^bq，^ai，…，^ap }，^a。= l ^b。= ¹。

文献[62]表明对CARMA模型进行采样可以得到阶数为(p，p-1)的ARMA模型，而

指数样条（exponential B-splines)就是建立ARMA模型与对应的CARMA模型之间联 系的函数。其中式（2-95)所对应的离散谱为

^Hd (^z;ⁿ)

naw) zp^-¹

瓜。(1-^¹

(2-96)

导出式（2-95)的自相关函数是由插值指数B样条函数采样得到的离散样本计算得 到，插值指数B样条函数为

(2-97)

^ k=1 J^{w -a}i k=1 J

式（2-97)中ARMA模型的零点是指数B样条Z变换的根，且根必须位于单位圆内：

^B (-nn)(^Z) = ^²Zd_k (n)z^-kZd_k (n)z^k  (².⁹⁸⁾

k=。   k=。

则CARMA模型的参数估计算法为：

4.  利用前面介绍的两种估计离散ARMA模型的参数估计算法估计出^、元和;^、

5.  i²的估计值为原始时间序列的方差

6.  CARMA模型的参数％

之=1哗（么）

(d) CARMA模型的参数^的估计式为

j3 = argmin^ <i - d (a, P)

(e) CARMA模型参数方差的估计为

i

 

ⁿ(-n,n)

 

2

2

(2-99)

(2-100)

(2-101)

其中，式（2-100)中dk (a, j)参数强调的是CARMA模型的零点a和极点j分离程度